上海大同中学2018-2019学年高中一年级上学期数学十月学情调查
1、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
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①若k＞0，则方程x2-2x-k=0有实数根；
②若x+y≠8，则x≠2或y≠6；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题其中真命题的序号是______．
如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）
B. 
C. 
D. 
①A∪B=A； ②∁UA∩B=∅③∁UA⊆∁UB；④A∪∁UB=U
=0的两个根，一个大于3，另一个小于3；若命题p和命题q中有且仅有一个是真命题，求a的取值范围．
（1）写出实数集R的一个二元“大同集”；
（2）是不是存在正整数集N*的二元“大同集”，请说明理由；
（3）求出正整数集N*的所有三元“大同集”．
（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是不是具备性质P并对其中具备性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具备性质P的集合A，证明：
；（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
【分析】
∴A∩B={x|x=6k+3，k∈N}．
故答案为：{x|x=6k+3，k∈N}．
借助交集概念直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集、不等式的性质等入门知识，考查运算求解能力，是基础题．
【分析】
则有
，解可得
，即m=-3；则M={-3}，
故答案为：-3．
依据题意，由集合交集、补集的概念剖析可得
，解可得m的值，进而剖析可得答案．本题考查集合的交并补的计算，涉及元素与集合的关系，是基础题．
【分析】
则∁UA∩∁UB={x|0≤x≤2或5＜x＜10}，
故答案为：{x|0≤x≤2或5＜x＜10}，
依据集合补集的概念与交集的概念进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的概念是解决本题的重点．
【分析】
∴m＜2；
②若B≠∅，则m应满足：
，解得2≤m≤3；综上得m≤3；
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
故答案为：（-∞，3]．
依据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种状况：B=∅时，m+1＞2m-1；B≠∅时，
，如此便可得出实数m的取值范围．考查子集的定义，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的状况．
【分析】
∴方程ax2-3x-4=0只有一个实数根；
①a=0时，-3x-4=0，只有一个实数根，满足题意；
②a≠0时，△=9+16a=0，∴
；综上得，实数a的值为0或
．故答案为：0或
．依据A只有一个真子集可知，方程ax2-3x-4=0只有一个实根，显然a=0合题意；a≠0时，需满足△=9+16a=0，求出a即可．
考查真子集的概念，一元二次方程只有一个实根时，辨别式△的取值状况．
【分析】
故“A∩B={2}”是“2∈A且2∈B”的充分非必要条件．
故填：充分非必要．
依据两条件的相互推出的状况判断即可．
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断办法，集合的运算，是基础题
【分析】
{x，y）|-1≤x≤0，-
或0
，0≤y≤1}={（x，y）|xy≥0且-1
}故答案为：{（x，y）|xy≥0，且
}借助图中的阴影部分的点的坐标满足的条件即为集合的元素的公共属性．
本题考查用集合表示平面图形，注意代表元素是数对．
【分析】
故原命题为：若a+b＞4，ab＞4，则a＞2，b＞2，
所以原命题的否命题为：若a+b≤4或ab≤4，则a≤2或b≤2．
故填：若a+b≤4或ab≤4，则a≤2或b≤2．
先依据逆命题推出原命题，再写出其否命题即可，
本题考查了四种命题，在写命题的否命题时，不光要对条件和结论否定，还应该注意对连接词的否定．本题属基础题．
【分析】
②若x+y≠8，则x≠2或y≠6的等价条件为若x=2且y=6时，x+y=8，则结论成立，故②正确，
③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”逆命题为：x、y中至少有一个为0，则xy=0，则逆命题为真命题，则命题的否命题为真命题，故③正确，
故正确的命题是①②③，
故答案为：①②③．
①依据一元二次方程根与辨别式△的关系进行判断
②依据逆否命题的等价性判断命题的等价条件
③依据逆否命题的等价性判断命题的逆命题的真伪即可
本题主要考查命题的真伪判断，涉及要点较多，困难程度不大，借助逆否命题的等价性进行转化判断是解决本题的重点．比较基础．
【分析】
若A∪B={x|x＞-2}，A∩B={x|1＜x≤3}，则x1=-1，x2=3，
则x1+x2=（-1）+3=2；
故答案为：2
依据题意，由集合交集．并集的概念剖析可得x1=-1，x2=3，两者相加即可得答案．
本题考查集合的运算，重点是求出x1、x2的值，是基础题．
【分析】
则A-B={y|1≤y＜2}，B-A={y|5＜y≤10}，
则A*B=（A-B）∪（B-A）={y|1≤y＜2或5＜y≤10}，
故答案为：{y|1≤y＜2或5＜y≤10}
求出集合的等价条件，结合概念求出A-B，B-A的集合进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，与结合新概念求出对应集合是解决本题的重点．
【分析】
即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次，
所以15+8+14-3-3-28=3就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数，
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人．
∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，
∴只参加一个项目的有28-3-3-3=19人，
故答案为：19
依据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．
本题主要考查集合关系的应用，依据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的重点．
【分析】
故阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩CUS
故选：C．
借助阴影部分所属的集合写出阴影部分所表示的集合．
本题考查集合的交集、并集、补集的概念、并借助概念表示出阴影部分的集合．
【分析】
解：如下图借用Venn图，可以判断出A∪B=A⇔B⊆A，
CUA∩B=ϕ⇔B⊆A，
CUA⊆CUB⇔B⊆A，
A∪CUB=U⇔B⊆A，
故①②③④均正确．
故选：D．
借助Venn图进行判断，理解B⊆A的等价关系是解决本题的重点．
本题考查了集合的图形语言，考查了子集与集合运算的等价关系，是基础题．
则Q={4}或{10}或{4，10}，
当Q={4}时，方程x2+px+q=0有唯一的根4，则P=-（4+4）=-8，q=4×4=16，此时实数对（p，q）为（-8，16）；
当Q={10}时，方程x2+px+q=0有唯一的根4，则P=-（1+10）=-20，q=10×10=100，此时实数对（p，q）为（-20，100）；
当Q={4，10}时，方程x2+px+q=0有两根4或10，则P=-（4+10）=-14，q=4×10=40，此时实数对（p，q）为（-14，40）；
综合可得：实数对（p，q）为（-8，16）或（-20，100）或（-14，40）．
【分析】
依据题意，剖析可得Q={4}或{10}或{4，10}，据此结合一元二次方程根与系数的关系剖析p、q的值，总合即可得答案．
本题考查集合的包括关系的应用，重点是剖析Q的元素，是基础题．
若横坐标均为负值，
则满足
得
，得a≤-5，即p：a≤-5，若方程2 （1-x）a+（x2-10x-3）=0的两个根，一个大于3，另一个小于3；
设f（x）=2 （1-x）a+（x2-10x-3），
则f（3）＜0，即-4a-24＜0，
得a＞-6，即q：a＞-6，
∵命题p和命题q中有且仅有一个是真命题，
∴若p真q假，则
得a≤-6，若p假q真，则
，此时a无解，综上实数a的取值范围是a≤-6．
【分析】
求出命题p，q为真命题的等价条件，结合命题p和命题q中有且仅有一个是真命题，进行讨论求解即可．
本题主要考查复合命题真伪关系的判断，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的重点．
若a1+a2+a3+…+an=a1⋅a2…an，则称A为集合M的n元“大同集”
∴实数集R的一个二元“大同集”为{-1，
}．（2）没有正整数集N*的二元“大同集”，
∵两个不一样的正整数之和不等于两个不一样的正整数之和，
∴没有正整数集N*的二元“大同集”．
（3）设正整数集N*的三元“大同集”为{a，b，c}．
则a+b+c=abc，
借助列举法得a，b，c的值分别为1，2，3，
∴正整数集N*的所有三元“大同集”为{1，2，3}．
【分析】
（1）借助集合M的n元“大同集”的概念能求出实数集R的一个二元“大同集”．
（2）由两个不一样的正整数之和不等于两个不一样的正整数之和，得到没有正整数集N*的二元“大同集”．
（3）设正整数集N*的三元“大同集”为{a，b，c}．则a+b+c=abc，借助列举法能求出正整数集N*的所有三元“大同集”．
本题考查二元大同集、三元大同集的判断及求法，考查新概念、列举法等入门知识，考查运算求解能力，是基础题．
集合{-1，2，3}具备性质P，其相应的集合S和T是
S={（-1，3），（3，-1）}，T={（2，-1），（2，3）}．
（II）证明：第一，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
由于0∉A，所以（ai，ai）∉T（i=1，2，k）；
又由于当a∈A时，-a∉A时，-a∉A，
所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T（i，j=1，2，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为
，即
．（III）解：m=n，证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，依据概念，
a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
假如（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那样a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，依据概念，a∈A，b∈A，
且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．
假如（a，b）与（c，d）是T的不同元素，
那样a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，
故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．
【分析】
（I）借助性质P的概念判断出具备性质P的集合，借助集合S，T的概念写出S，T．
（II）据具备性质P的集合满足a∈A，总有-a∉A，得到0∉A得到（ai，ai）∉T；当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）∉T，求出T中的元素个数．
（III）对应S中的元素据S，T的概念得到也是T中的元素，反之对于T中的元素也是s中的元素，得到两个集合中的元素相同．
本题考查借助题中的新概念解题；新概念题是近几年常考的题型，要看重．
